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Números Primos de Goldbach

Conjectura de um século de idade se aproxima de solução

Davide Castelvecchi
João Marcelo
Um dos mais antigos problemas não resolvidos de matemática também está entre os mais fáceis de entender. A conjectura fraca de Goldbach diz que todo número ímpar pode ser decomposto na soma de, no máximo, três números primos (número que só pode ser igualmente dividido pela unidade ou por ele mesmo). Um exemplo é a figura ao lado.


O matemático Terence Tao, da University of California, Los Angeles, já avançou em direção a uma prova. Ele mostrou que é possível escrever os números ímpares como somas de, no máximo, cinco primos, e espera baixá-los até três. Além da pura emoção de quebrar uma noz que escapou a algumas das melhores mentes da matemática por quase três séculos, salienta Tao, alcançar esse objetivo cobiçado pode levar matemáticos a terem ideias úteis para a vida real, como criptografar dados confi denciais.

A conjectura fraca de Goldbach foi proposta pelo matemático prussiano Christian Goldbach no século 18. Faz par com uma declaração relativa a números pares, chamada de conjectura forte de Goldbach, mas na verdade elaborada por seu colega, o matemático Leonhard Euler. A versão forte postula que todo número par maior que 2 é a soma de dois primos. Como o nome indica, a versão fraca resultaria se a versão forte fosse verdadeira: para representar um número ímpar como uma soma de três números primos seria suficiente subtrair 3 dele e aplicar a versão forte para o número par resultante.

Matemáticos verificaram por computador a validade das duas conjecturas para todos os números até 19 dígitos e nunca encontraram qualquer exceção. Além disso, quanto maior o número, mais maneiras existem de dividi-lo em uma soma de dois outros, quanto mais três. Assim, as chances de as afirmações serem verdadeiras tornam-se melhores para números maiores. Na verdade, matemáticos demonstraram que, caso existam exceções à conjectura forte, elas devem se tornar cada vez mais escassas conforme o número tende ao infinito. No caso fraco um teorema clássico dos anos 30 diz que há, no máximo, um número fi nito de exceções à conjectura. Em outras palavras, a conjectura fraca de Goldbach é verdadeira para números “suficientemente elevados”. Tao combinou os resultados válidos para números suficientemente pequenos com o resultado que se aplica aos números suficientemente grandes. Segundo Tao, ao melhorar os cálculos anteriores, com “muitos ajustes pequenos”, ele mostrou que poderia sobrepor os dois intervalos de validade, desde que pudesse usar cinco números primos.
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